Problème
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>> Hypothèses: a et b entiers entre 2 et 100, s=a+b, p=a*b
>>
>> La personne P connait p, la personne S connait s. On demande à
>> chacun de trouver a et b.
>>
>> P dit « je ne peux pas trouver a et b ! »
>> S dit « je le savais ... »
>> P dit « alors j'ai trouvé a et b ! »
>> S dit « alors moi aussi ! »
>>
>> Question: trouver a et b.

Aide à la démonstration
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Au début on ne sait rien. Les valeurs éventuelles pour p sont tous les nombres
non-premiers entre 2*2 et 100*100:

p: 4, 6, 8, 9, 10, ... , 9997, 9998, 9999, 10000

Les valeurs éventuelles pour s sont tous les nombres entre 2+2 et 100+100:

s: 4, 5, 6, 7, 8, ..., 397, 398, 399, 400


>> P dit « je ne peux pas trouver a et b ! »


Cela signifie qu'en voyant p, on ne peut pas deviner a et b. En d'autres
termes, p n'est pas le produit de deux nombres premiers. Par exemple, ça
ne peut pas être 77 sinon P aurait trouvé tout de suite 7 et 11. On supprime
donc de la liste des choix possibles pour p tous les produits de deux
nombres premiers. Il ne reste donc que les nombres ayant au moins 3 facteurs
premiers.

p: les nombres entre 4 et 10000 ayant au moins 3 facteurs premiers


>> S dit « je le savais ... »


Cela signifie qu'en voyant s, on est sûr que tous les p possibles sont dans
l'ensemble des p qu'on a déterminé plus haut. On va donc prendre tous les
s un par un, et prendre toutes les décompositions a,b tels que a+b=s, et
on va vérifier que a*b est dans l'ensemble des p qu'on avait. En gros ça
revient à éliminer tous les s qui sont la somme de deux nombres premiers.

s: les nombres entre 4 et 200 n'étant pas la somme de deux nombres premiers


>> P dit « alors j'ai trouvé a et b ! »


Cela signifie que l'information qu'a apportée S a été décisive pour trouver
a et b. P a donc essayé toutes les valeurs de s possibles correspondant à p,
et n'en a trouvé qu'une seule qui soit dans l'ensemble qu'on a déterminé
ci-dessus. On va donc éliminer les p ne remplissant pas cette condition,
c'est-à-dire qu'on va prendre tous les p un par un, et prendre toutes les
décompositions a,b tels que a*b=p, et ne garder p que si une et une seule
d'entre elles est dans l'ensemble des s qu'on avait.

p: ben il en reste plus beaucoup hein :)


>> S dit « alors moi aussi ! » 


Cela signifie qu'avec tous les p qu'on a éliminés, il n'y a qu'une seule
valeur de p correspondant au nombre qu'avait S, ce qui lui a permis de
deviner a et b. On va donc prendre tous les s un par un, en prendre toutes
les décompositions a,b tels que a+b=s, regarder combien de fois on trouve
a*b dans la liste des p qui restait. On ne garde que les s pour lesquels
on ne trouve qu'une seule paire a*b dans la liste des p. Normalement il ne
devrait en rester qu'un seul, sinon c'est que le problème n'a pas de
solution :-)

s: il n'en reste qu'un !